अवकल समीकरण (Differential Equations) कैसे हल करें?

अवकल समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन किया जाता है:

1. अवकल समीकरण की पहचान करें

पहले यह पहचानना आवश्यक है कि दिया गया अवकल समीकरण किस प्रकार का है:

(i) साधारण अवकल समीकरण (Ordinary Differential Equation - ODE)

यदि समीकरण में केवल एक स्वतंत्र चर (Independent Variable) हो।
उदाहरण:

$$\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0$$

(ii) आंशिक अवकल समीकरण (Partial Differential Equation - PDE)

यदि समीकरण में दो या अधिक स्वतंत्र चर हों।
उदाहरण:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$

(लाप्लास समीकरण - Laplace’s equation)

2. अवकल समीकरण के प्रकार

(i) कोटि (Order) और घात (Degree)

• कोटि (Order): समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज का कोटि।
• घात (Degree): उच्चतम कोटि के अवकलज की घात (यदि समीकरण बहुपद रूप में हो)।

समीकरण	कोटि (Order)	घात (Degree)
$\frac{dy}{dx} + y = 0$	1	1
$\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + y = 0$	2	1

⚠ यदि अवकलज किसी घातीय, त्रिकोणमितीय, या लघुगणकीय रूप में हो, तो घात निर्धारित नहीं की जा सकती।

(ii) रैखिक (Linear) और अरैखिक (Nonlinear) अवकल समीकरण

• रैखिक: यदि $y$ और उसके अवकलज पहले घात में हों।
  उदाहरण: $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$
• अरैखिक: यदि $y$ या उसके अवकलज उच्च घात में हों।
  उदाहरण: $\frac{dy}{dx} + y^2 = x$

3. अवकल समीकरण हल करने की विधियाँ

(i) प्रत्यक्ष एकीकरण (Direct Integration)

यदि समीकरण $\frac{dy}{dx} = f(x)$ के रूप में हो, तो इसे सीधे समाकलन करें।
उदाहरण:

$$\frac{dy}{dx} = 3x^2$$

हल:

$$\int dy = \int 3x^2 dx$$ $$y = x^3 + C$$

(ii) चर पृथक्करण विधि (Variable Separation Method)

यदि समीकरण को $M(x)dx + N(y)dy = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है, तो दोनों पक्षों का अलग-अलग समाकलन करें।
उदाहरण:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2y}$$

इसे पुनः लिख सकते हैं:

$$2y dy = 3x^2 dx$$

अब दोनों पक्षों का समाकलन करें:

$$\int 2y dy = \int 3x^2 dx$$ $$y^2 = x^3 + C$$ $$y = \sqrt{x^3 + C}$$

(iii) रैखिक अवकल समीकरण (Linear differential equation) हल करने की विधि

यदि समीकरण इस रूप में हो तो:

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

तो हल इस प्रकार निकाला जाता है:

1. समाकलन गुणक (Integrating Factor, I.F) ज्ञात करें: $$I.F = e^{\int P(x)dx}$$
2. संपूर्ण समीकरण को $I.F$ से गुणा करें और हल निकालें।

उदाहरण:

$$\frac{dy}{dx} + y = x$$

यहाँ $P(x) = 1$, तो

$$I.F = e^{\int 1 dx} = e^x$$

अब दोनों पक्षों को $e^x$ से गुणा करें और हल करें:

$$e^x \frac{dy}{dx} + e^x y = x e^x$$ $$\frac{d}{dx} (y e^x) = x e^x$$

अब समाकलन करें:

$$y e^x = \int x e^x dx$$

इसे भागों द्वारा समाकलन से हल करें और $y$ प्राप्त करें।

(iv) सटीक (Exact) अवकल समीकरण हल करने की विधि

यदि कोई अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में दिया गया हो:

$$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$$

तो यह सटीक (Exact) अवकल समीकरण तब कहलाता है जब यह शर्त पूरी होती है:

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$

जहाँ,

• $M(x, y)$ वह गुणांक है जो $dx$ के साथ दिया गया हो।
• $N(x, y)$ वह गुणांक है जो $dy$ के साथ दिया गया हो।

हल निकालने की विधि

1. सटीकता की जाँच करें:
   $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ सत्यापित करें।
2. संयुक्त फलन (F) निकालें:
   $F(x, y)$ ऐसा फलन खोजें जिससे $$\frac{\partial F}{\partial x} = M(x, y), \quad \frac{\partial F}{\partial y} = N(x, y)$$ हो।
3. समीकरण हल करें: $$F(x, y) = C$$ यह समीकरण का सामान्य हल होगा।

उदाहरण:

समीकरण दिया गया है:

$$(2xy + 3x^2)dx + (x^2 + 4y)dy = 0$$

यहाँ,

$$M(x, y) = 2xy + 3x^2, \quad N(x, y) = x^2 + 4y$$

अब,

$$\frac{\partial M}{\partial y} = 2x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x$$

चूँकि $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$, इसलिए यह समीकरण सटीक है।

अब, $F(x, y)$ निकालने के लिए $M(x, y)$ को $x$ के सापेक्ष समाकलित करें:

$$F(x, y) = \int (2xy + 3x^2)dx = x^2 y + x^3 + g(y)$$

अब $g(y)$ निकालने के लिए $N(x, y)$ से तुलना करें:

$$\frac{\partial F}{\partial y} = x^2 + g'(y) = x^2 + 4y$$

इससे $g'(y) = 4y$, अतः $g(y) = 2y^2$

अतः सामान्य हल होगा:

$$x^2 y + x^3 + 2y^2 = C$$

(v) समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation)

यदि कोई अवकल समीकरण इस रूप में हो:

$$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$$

तो इसे समघात (Homogeneous) अवकल समीकरण कहते हैं।

हल निकालने की विधि

1. परिवर्तन लें: $$v = \frac{y}{x} \Rightarrow y = vx$$ $$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$$
2. समीकरण को $v$ और $x$ के रूप में पुनः लिखें।
3. चर पृथक्करण विधि से हल करें।
4. अंत में $v = y/x$ वापस रखें।

उदाहरण:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x}$$

इसे पुनः लिख सकते हैं:

$$\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{y}{x}$$

अब परिवर्तन लें:

$$v = \frac{y}{x}, \quad y = vx \Rightarrow \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$$

इसे समीकरण में रखने पर:

$$v + x \frac{dv}{dx} = 1 + v$$ $$x \frac{dv}{dx} = 1 + v - v$$ $$x \frac{dv}{dx} = 1$$

अब समाकलन करें:

$$\int dv = \int \frac{dx}{x}$$ $$v = \ln |x| + C$$

अब $v = \frac{y}{x}$ वापस रखें:

$$\frac{y}{x} = \ln |x| + C$$

अतः हल होगा:

$$y = x (\ln |x| + C)$$

निष्कर्ष

1. सटीक अवकल समीकरण हल करने के लिए सटीकता जाँची जाती है, फिर समाकलन द्वारा हल निकाला जाता है।
2. समघात अवकल समीकरण में $v = y/x$ परिवर्तन करके चर पृथक्करण विधि से हल निकाला जाता है।
   
   

(vi) द्वितीय-क्रम रैखिक अवकल समीकरण हल करने की विधि

कोई भी द्वितीय-क्रम का रैखिक अवकल समीकरण इस रूप में होता है:

$$a \frac{d^2y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0$$

इसका हल सहचर समीकरण

$$ar^2 + br + c = 0$$

की जड़ों के आधार पर निकाला जाता है।

उदाहरण:

$$\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} + 6y = 0$$

इसका सहचर समीकरण होगा:

$$r^2 - 5r + 6 = 0$$

हल करके $r_1 = 2, r_2 = 3$ मिलते हैं, तो हल होगा:

$$y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$$

(vii) घात श्रेणी विधि (Power Series Method)

यदि अवकल समीकरण को सामान्य श्रेणी के रूप में लिखा जा सके, तो इसे घात श्रेणी द्वारा हल किया जाता है।

उदाहरण:

$$\frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$$

घात श्रेणी मानकर हल निकालते हैं:

$$y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$

व्युत्पन्न लेकर समीकरण में रखने पर गुणांक प्राप्त किए जाते हैं और हल निकाला जाता है।

निष्कर्ष

अवकल समीकरण हल करने के लिए विभिन्न विधियाँ उपलब्ध हैं। समीकरण के प्रकार और स्वरूप के आधार पर उचित विधि का चयन करना आवश्यक है। द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरणों के लिए सहचर समीकरण विधि और विशेष स्थितियाँ महत्वपूर्ण होती हैं। इसके अलावा, यदि समीकरण को श्रेणी रूप में हल किया जा सकता है, तो घात श्रेणी विधि प्रभावी होती है।